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错在哪里?

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在初三中考复习阶段,有个学生遇到一道题目,他根据自己的理解进行了解答,但是与标准答案不同,错在哪里呢？现将题目与该生解答展示如下，并予以分析.

一、题目与学生的错误解法

题目(2016江苏扬州)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为______.

错误解法根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W元,则每天售出一件获得的利润为

(110-40-a-t)=(70-a-t)元,

而件数为(20+4t).

因此W=(70-a-t)(20+4t)

=-4t2+(260-4a)t+1400-20a,

得对称轴为

因为在这30天内W随t的增大而增大,结合函数图象(如图1)可知所以a≤5.

故a的取值范围为0

对本题进行深入研究后发现这种解法确实存在问题,正确答案应该是0

二、题目分析与正确解法

本题来自于生活实际,要求学生从实际问题中抽象出二次函数模型,再根据二次函数的增减性建立关于参数a的不等式,最后解出a的取值范围,重点考察了二次函数关系式的建立和函数增减性等数学核心知识．特别值得关注的是自变量t的取值范围是1≤t≤30且t为正整数,但在上述解法中只关注了1≤t≤30,而忽视了t为正整数,这正是导致错误的根本原因．

正确解法1同上可得

W=-4t2+(260-4a)t+1400-20a,

对称轴为

因为1≤t≤30且t为正整数,所以函数图象是依次排列在抛物线上的30个点,图1虽然符合30天内W随t的增大而增大,但是考虑得不全面有失偏颇,取t=29、t=30与抛物线的顶点这三个点进行分析,发现图2也是符合题意的,临界状态是t=29.5,所以得a<6,故a的取值范围为0

反思1函数W=-4t2+(260-4a)t+1400-20a(1≤t≤30)与W=-4t2+(260-4a)t+1400-20a(1≤t≤30且t为正整数)一样吗?显然不一样,前者的图象是隶属于抛物线的一段曲线,它是连续地、不间断的；后者的图象是隶属于抛物线的30个点,是离散的、间断的．那么这么明显的问题,师生为什么没有在第一次解答时发现呢?对于初三复习阶段的学生来说,这是一道熟题,此类情境的问题遇到过多次,曾多次使用相同的方法得到成功,所以当再次遇到时,心生麻痹,只关注了1≤t≤30,而忽视了t为正整数,最终导致错误的产生．对于老师来说,忽视t为正整数,实属不该,应深以为戒．

反思2在初中数学中,学生先学习了一次函数和正比例函数,它们的图象是直线,是连续的．而后又学习了反比例函数,它的图象是双曲线,是间断的、跳跃的,其增减性叙述为在每个象限内,y随x的变化而变化.在这个知识点的理解上,最初学习时学生没有充分的认识,甚至有很多学生认为强调“在每个象限内”实属多余.通过本题,我们可以认识到强调“在每个象限内”是多么地正确,体现了数学的严谨性．当我们面对来自于实际问题的函数时,除了关注函数解析式外,还应对自变量的取值范围即函数的定义域充分关注,对于相同的解析式,定义域不同,所对应的函数也是不同的．对于生活实际问题为背景的二次函数问题,一般是运用数形结合来解题,但是正是由于函数来自于实际,它的图象会受到定义域的影响,有时真实图象是理想图象的一部分,甚至是依次排列在理想图象上的一系列的点,当我们不能准确区分理想图象和真实图象,就会出问题．又如:代数式与x一样吗?显然不一样,前者是分式,后者是整式;前者的定义域是x≠0,后者的定义域是x是一切实数．

三、新的认识

教学中，要给学生一碗水,教师要有一桶水.教师应站在更高的角度去审视自己的教学,深刻地理解数学知识,以便更好地为学生提供更加科学合理的教学．站在高中数学的角度,笔者又有了新的解法,新的理解和认识．

正确解法2高中阶段中的单调递增:对于函数y=f(x),如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1和x2,当x1

第n天的利润为

Wn=(110-40-a-n)(20+4n)

=(70-a-n)(20+4n)

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