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基于排队论的销售模型分析

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0 引言

顾客到达企业寻求服务可以构成一个排队系统[1]。顾客到达过程即为输入过程,企业为服务机构,企业根据需要设置排队规则[2]。顾客到达系统时总是希望等待服务的队列长度越短越好,否则他们在系统中逗留成本比较高,这需要企业在销售时提供相对较高的服务速度,但是如果服务速度增高又会导致服务成本升高。如何在服务台的服务成本与顾客在系统中的逗留成本之间平衡,使两者之和(称为系统的综合成本[3])最小,是一项重要的课题。

1 顾客到达时排队方式的探讨

顾客到达系统的排队方式主要有3种[4],分别如图1所示。

图1为单队单服务台系统,排队等待服务的通道只有一条。图2为多队多服务台系统,每个通道各排一个队,且每个通道只为自己通道上的顾客服务,顾客不能任意插队。图3为单队多服务台系统,即顾客排成一个队,队列中第一个顾客视哪个通道有空就去哪一个通道接受服务。在这里假设顾客到达为泊松到达,企业按先到先服务的规则服务,服务时间服从负指数分布,则上述3个图形就分别对应着 M/M/1系统、n个并联的M/M/1系统、M/M/n系统,其中M/M/1系统是n个并联的M/M/1系统及 M/M/n系统的特殊情况。

企业总是希望系统总是处于非空闲状态的,因为空闲概率越大意味着系统的利用率越低;顾客则希望在系统中的逗留时间越短越好。下面从系统的空闲概率与逗留时间两个角度分析 n个并联的M/M/1系统及 M/M/n系统。由文献[5]知:M/M/n系统的空闲概率为记为pn0;n个并联的M/M/1系统的空闲概率为1-ρ,记为 p00。事实上所以 pn0=,即M/M/n系统的空闲概率小于n个并联的M/M/1系统的空闲概率。由文献[5]知:M/M/n系统的平均等待时间为个并联的M/M/1系统的平均等待时间为

下证易知:对于 M/M/n系统,,且所以而所以从而所以又M/M/n系统的平均逗留时间M/1系统的平均逗留时间,其中μ为单个服务台的服务率,所以即M/M/n系统的平均逗留时间小于 n个并联的M/M/1系统的平均逗留时间。因而从系统空闲概率及顾客在系统中的逗留时间两个角度均说明:顾客到达时以M/M/n方式排队优于n个并联的M/M/1排队方式。

2 销售企业服务方式的探讨

目标函数常常被用来衡量企业服务方式[6]的优劣,其中为系统的平均服务率,a为系统服务单位时间的成本[7]为系统中顾客的平均逗留时间,b为每个顾客在系统中逗留单位时间的成本。如果F越小,就说明对应的服务方式越优。

2.1 窗口之间相互帮助的模型分析

对于M/M/1系统,顾客泊松到达,到达强度为λ,服务台的服务时间是平均服务率为 μ的负指数分布,记,当ρ1＜1时,系统有平稳分布,且顾客在系统内平均逗留时间

对于M/M/n系统,顾客泊松到达,到达强度为 λ,每个服务台的服务时间是平均服务率为 μ的负指数分布,整个系统的平均服务率为 nμ,记当ρ2＜1时,系统有平稳分布,且顾客在系统内平均逗留时间;其中

若窗口间相互帮助,则M/M/n系统就相当于如下的M/M/1系统:

例1 n=4,λ=5,μ=2,比较各窗口独立工作与相互帮助时F的大小

解:(ⅰ)当各窗口独立工作时,

(ⅱ)各窗口相互帮助时,

显然,无论窗口是否独立工作,ˉμ均为nμ,而各窗口相互帮助时顾客在系统中的逗留时间要小于各窗口独立工作时的逗留时间,因而F在各窗口相互帮助时较小,导致这一结果的原因:各个窗口相互帮助时,避免了一些服务人员的闲置。

2.2 同时为k个顾客服务的模型分析

对于有些类型的服务,服务员需要花相当多的时间在来去的路上,如柜台每接一笔订单就向仓库请求发货。如果发货请求时间间隔不大,仓库可将几个请求的货物一起运过来,这样比每接一个请求即发一次货的成本要低。设订单到达服从泊松分布,时刻t系统中订单数为i(i=0,1,…,s)时,订单的到达率为 λi;系统服务时间服从指数分布,每次服务k(k为正整数)个订单,服务率为μ。则可写出状态方程组如下:

例2 λi=比较每次同时为2个顾客服务与每次只服务一个顾客时F大小,其中a=b=1,且每次同时服务2个顾客时 μ=10,每次只服务一个顾客时 μ=12。

解 (ⅰ)每次只服务一个顾客时,系统就是一个 M/M/1/s系统,此时容易计算出:p0=0.267,p1=0.267,p2=0.20,p3=0.133,p4=0.083,p5=0.05,系统的平均等待队长,系统的平均输入率,顾客在系统中的平均逗留时间0.190=12.190

(ⅱ)每次同时服务2个顾客,将上述数据代入(2)～(6)式及可得:p0=0.184,p1=0.381,p2=0.22,p3=0.123,p4=0.054,p5=0.039,系统的平均等待队长系统的平均输入率,顾客在系统中的平均逗留时间10.588

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